[Ion Trap] Quantum Dynamics of Single Trapped Ions (1)

지난 포스트에 이어, Paul trap에 의해 포획된 이온이 어떤 양자적 상태를 가지는지에 대해 공부한 내용을 정리해 보았다. 특히 단일 이온의 quantum dynamics를 자세히 다룬 2003년 논문([1])의 내용을 중심으로 정리해 보았다.

Classical Equations of Motion

지난 포스트에서, 전하를 가두기 위한 방법 중 Paul trap에 대해 간략히 알아보았다. Paul trap은 rf frequency로 진동하는 전기장을 이용해 이온을 특정 공간에 가두는데, 이 전기장이 만드는 퍼텐셜은 다음과 같이 harmonic oscillator 퍼텐셜에 진동하는 항이 더해진 형태로 쓸 수 있다.

$\displaystyle \Phi(x,y,z,t)={1\over2}U(\alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2)+{1\over2}\tilde{U}\cos(\omega_{rf}t) (\alpha'x^2+\beta'y^2+\gamma'z^2)$

이 퍼텐셜에 의한 전하의 운동을 고전역학의 측면에서 먼저 살펴보자. x좌표만을 생각해서 운동방정식을 쓰면

$\displaystyle \ddot{x}=-{Z|e|\over m}{\partial\Phi \over \partial x}=-{Z|e|\over m}[U\alpha + \tilde{U}cos(\omega_{rf}t)\alpha']x$

이다. 변수들을 적당히 치환하면 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

$\displaystyle \xi={\omega_{rf}t\over2},\ a_x={ 4Z|e|U\alpha \over \omega^2_{rf}},\ q_x={2Z|e|\tilde{U}\alpha' \over m\omega^2_{rf}}$

$\displaystyle {d^2x\over d\xi^2} + [a_x-2q_x \cos(2\xi)]x=0$

이는 Mathieu's equation이라 부르는 미분방정식의 표준 형태이다. Periodic coefficient를 가진 미분방정식에 관한 정리인 Floquet theorem을 이용하면, x가 안정적인 경우의 일반해를 구할 수 있다.

$\displaystyle x(\xi)=Ae^{i\beta_x\xi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{2n}e^{i2n\xi} + Be^{-i\beta_x\xi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{2n}e^{i2n\xi}$

이 식을 원래 미분방정식에 대입하면 무한급수의 계수들 간의 recurrence relation을 얻을 수 있고, 이를 통해 근사적인 해를 계산해 나갈 수 있다. 특히 $C_{\pm4}=0$ 으로 놓고 lowest-order approximation을 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle x(t)\approx2AC_0 \cos(\beta_x{\omega_{rf}t\over 2})[1-{q_x\over2}\cos(\omega_{rf}t)]$

여기서 $\beta_x\ll1$, $q_x^2\ll1$ 이다. 즉, rf trap에 갇힌 이온의 운동은 2가지 진동이 중첩된 형태로 생각할 수 있다. Driving field보다 느린 $\beta_x\omega_{rf}/2$ 의 진동수로 진동하는 secular motion과, driving field와 같은 진동수로 작게 진동하는 micromotion이 그것이다. (micromotion의 위상은 driving field의 위상과 반대이다.) 만약 micromotion을 무시할 수 있다면, 위 식은 static harmonic oscillator에서의 운동과 같아진다.

Quantum Equations of Motion

이제 양자역학의 측면에서 운동을 해석해 보자. 위에서 살펴본 퍼텐셜에 의한 운동의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \hat{H}^{(m)} = {\hat{p}^2 \over 2m} + {m\over2}W(t)\hat{x}^2 = {\hat{p}^2 \over 2m} + {m\over2}{\omega_{rf}^2\over4}[a_x+2q_x\cos(\omega_{rf}t)]\hat{x}^2$

Heisenberg picture에서 해밀토니안을 통해 얻은 운동방정식을 쓰면 다음과 같다.

$\displaystyle \dot{\hat{x}}={1\over{i\hbar}}[\hat{x},\hat{H}^{(m)}]={\hat{p}\over m},\quad\dot{\hat{p}}={1\over{i\hbar}}[\hat{p},\hat{H}^{(m)}]={-mW(t)\hat{x}}\quad \Rightarrow\quad \ddot{\hat{x}}+W(t)\hat{x}=0$

즉, 해밀토니안 $\hat{H}^{(m)}$은 '용수철 상수가 시간에 따라 주기적으로 변하는' harmonic oscillator를 나타낸다. 우리는 이것을 static potential harmonic oscillator를 풀 때와 유사한 방식으로 풀 것이다. 구체적으로 static potential에서의 annihilation operator $\hat{a}$ 에 대응하는 operator $\hat{C}(t)$를 정의한 다음, static potential에서의 energy eigenbasis를 이용해 특별한 state들을 표현할 것이다.

먼저 $u(0)=1,\ \dot{u}(0)=iv$ 를 만족시키는 Mathieu's equation의 한 특수해 u(t)를 생각하자.

$\displaystyle u(t)=e^{i\beta_x\omega_{rf}t/2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{2n}e^{in\omega_{rf}t}$

(where $u(0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{2n}=1,\quad v=\omega_{rf}\sum_{n=-\infty}^{\infty} {C_{2n}}(\beta_x/2+n)$ )

그리고 이 함수를 이용해 operator $\hat{C}(t)$를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \hat{C}(t)=\sqrt{m\over{2\hbar v}}[u(t)\dot{\hat{x}}-\dot{u}(t)\hat{x}(t)]$

이 operator는 시간에 대해 불변이며, static potential에서의 annihilation operator $\hat{a}$ 와 일치한다 (유도는 [1] 참조).

$\displaystyle \hat{C}(t)=\hat{a}={1\over\sqrt{2m\hbar v}}[mv\hat{x}(0)+i\hat{p}(0)]$

이에 따라, static potential에서의 ground state인 $\ket{n=0}$ 에 대해 $\hat{C}(t)\ket{n=0}=0$ 이 성립한다. 또 $\hat{C}(t)$ 의 Schrodinger picture에 대응하는 operator $\hat{C}_S(t)$ 를 생각하면 $\hat{C}_S(t)\ket{n=0,t}=0$이 성립한다. 즉, $[u(t)\hat{p}-m\dot{u}\hat{x}]\ket{n=0,t}=0$ 이며 이 식을 coordinate basis로 나타내면

$\displaystyle [u(t){\hbar\over i}{\partial\over\partial x'} - {m\dot{u}(t)x'}]\braket{x' | n=0,t} = 0$

이 되고, x'에 대해 풀면 coordinate basis에서 다음과 같은 해를 얻을 수 있다.

$\displaystyle \braket{x'|n=0,t} = ({mv\over m\hbar})^{1/4} {1\over [u(t)]^{1/2}} \exp[{im\over 2\hbar} {\dot{u}(t)\over u(t)} {x'}^2]$

또, creation operator를 이용하면 ground state로부터 임의의 energy state를 얻을 수 있다.

$\displaystyle \ket{n,t}= {[\hat{C}_S^{\dagger}(t)]^n \over \sqrt{n!}}\ket{n=0,t}$

이를 적용하면 coordinate basis에서 energy state들을 아래와 같이 구할 수 있다.

rf trap 속 이온의 임의의 motional state는 이 energy state들의 중첩으로 표현된다.

$\displaystyle \Psi = \sum_{n=0}^\infty c_n\ket{n,t}$

Total Hamiltonian of Trapped Ions

앞서 살펴본 해밀토니안과 energy state들은 trap이 만드는 퍼텐셜에 의한 motional state만을 설명한다. 반면 실제 이온은 이뿐만 아니라 내부적인 energy level에 따른 상태를 가질 수 있으며, 또 외부 전자기장에 coupling된 상태도 가질 수 있다. 이러한 다른 해밀토니안 부분들은 다음 포스트에서 자세히 다루어 보겠다.

References

1. Leibfried, D., Blatt, R., Monroe, C., & Wineland, D. (2003). Quantum dynamics of single trapped ions. Reviews of Modern Physics, 75(1), 281–324. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.75.281