양자역학의 공리들

양자컴퓨터 분야에 관심이 생겨 가입한 스터디에서 양자역학 도서(Shankar)을 읽고 이해한 내용을 요약해 기록하기로 했다.

The Postulates

고전역학에서는 입자의 시간에 따른 위치와 운동량으로 입자의 운동을 기술하는 것과 달리, 양자역학에서는 파동 함수, 혹은 상태 벡터라는 개념을 이용해 입자의 운동을 설명한다. 고전역학과 양자역학의 공리(Postulates)를 살펴본 후, 그 의미를 살펴보도록 하자.

Classical Mechanics

1. 시간 t에서 한 입자의 상태는 x(t), p(t)라는 두 가지 변수로 표시된다. (위상 공간에서의 한 점으로 표시된다)
2. 입자의 모든 동역학적 물리량(ex: 에너지)은 x와 p의 함수로 주어진다. [ ω=ω(x,p) ]
3. 특정 시간에서 입자의 ω를 관측하면 ω(x,p)의 값을 얻을 수 있고, 관측은 입자의 상태에 영향을 주지 않는다.
4. 시간에 따른 입자의 상태 변화는 해밀턴 방정식을 통해 기술된다. $\displaystyle {d\over dt}x={{\partial \mathcal{H}} \over {\partial p}}$, $\displaystyle {d\over dt}p=-{{\partial \mathcal{H}} \over {\partial x}}$ ($\mathcal{H}$는 해밀토니안)

Quantum Mechanics

1. 시간 t에서 한 입자의 상태는 힐베르트 공간의 원소인 벡터 $\ket{\psi(t)}$로 주어진다.
2. 물리량 x와 p는 각각 Hermitian 연산자 X와 P로 주어진다. 이외의 물리량은 X와 P에 의존하는 Hermitian 연산자로 주어진다. [ Ω=ω(X,P) ]
3. Ω에 대응되는 물리량을 관측하면 관측 결과로 연산자 Ω의 한 고유값(eigenvalue) ω를 얻으며, 그 결과를 얻을 확률은 입자의 상태 벡터와 고유벡터(eigenvector) $\ket{\omega}$의 내적의 제곱에 비례한다. [ $P(\omega)\propto{|\braket{\omega|\psi}|}^2$ ] 또한, 관측의 결과로, 입자의 상태 $\ket{\psi}$는 $\ket{\omega}$로 변화한다.
4. 시간에 따른 입자의 상태 변화는 슈뢰딩거 방정식을 통해 기술된다. $\displaystyle i\hbar {d\over dt}\ket{\psi(t)}=H\ket{\psi(t)}$ (H는 고전적 해밀토니안에 대응되는 양자 해밀토니안 연산자이다.)

Superposition

우리는 힐베르트 공간의 임의의 원소인 $\ket{\psi}$가 어떤 입자의 상태를 나타낼 수 있음을 안다. 또 다른 원소인 $\ket{\psi'}$도 상태를 나타낼 수 있다면, 이 둘의 선형결합 $\alpha\ket{\psi}+\beta\ket{\psi'}$도 마찬가지로 힐베르트 공간의 원소이므로 입자의 상태를 나타낸다. 즉 양자역학에서 입자는 두 가지 상태가 중첩된 상태를 가질 수 있는 것이다. 이를 중첩(superposition)의 원리라 한다.

양자역학에서, 우리는 크기(norm)가 1인( $\braket{\psi|\psi}=1$ ) 벡터들에 관심이 있다. 어떤 벡터를 그 벡터의 크기로 나누어 크기를 1로 만드는 것을 규격화(normalization)라 한다.

Interpretation of a state

고전 역학에서는 입자의 상태인 위치와 운동량을 알면 에너지 등 물리량을 쉽게 계산할 수 있다.

그렇다면 양자역학에서는 입자의 상태 $\ket{\psi}$를 어떻게 해석할까? 양자역학의 공리 중 2번째, 3번째에 그 답이 있다.

입자의 상태를 알고 있는 상황에서, 어떤 물리량 Ω의 값을 알아내는 과정은 다음과 같다.

먼저, 물리량에 대응하는 연산자 Ω(X,P)를 찾는다. 그 다음으로, Ω의 고유벡터 $\ket{\omega_i}$와 그에 대응하는 고유값 $\omega_i$를 구한다.

이제 상태 $\ket{\psi}$를 $\ket{\omega_i}$로 전개한다.

$\displaystyle \ket{\psi}=\sum_i \ket{\omega_i}\braket{\omega_i|\psi}$

주어진 상태 $\ket{\psi}$를 연산자 Ω의 고유벡터가 나타내는 상태들의 중첩으로 생각하는 것이다. 여기에서 $|\braket{\omega_i|\psi}|^2$ 는 해당 물리량을 관측한 결과가 $\omega_i$ 일 확률이 된다. ($\ket{\psi}$가 규격화되어 있다는 가정 하에)

이렇게 입자의 상태를 해석하는 과정에서 양자역학과 고전역학의 핵심적인 차이점이 드러난다. 양자역학에서는 입자의 상태를 알더라도 입자의 물리량을 확률적으로만 알 수 있다. 예를 들면 고전 역학에서처럼 입자의 에너지를 딱 떨어지게 기술할 수 없고, 입자가 에너지의 값으로 가질 수 있는 값(고유값)과 관측의 결과로 그 값을 얻을 확률만을 알 수 있는 것이다. 입자의 물리량을 확실히 알 수 있는 경우는 상태 $\ket{\psi}$가 Ω의 고유벡터 중 하나와 일치하는 경우뿐이다.

연산자 Ω의 고유값이 연속적일 땐 적분의 형태로 전개한다.

$\displaystyle \ket{\psi}= \int \ket{\omega}\braket{\omega|\psi}d\omega$

여기에서 $|\braket{\omega|\psi}|^2$는 확률이 아니라 확률밀도(probability density)이다. 연속적인 고유값 ω에 대해, $\braket{\omega|\psi}$를 ω에 대한 함수로 볼 수 있고, 이를 $\psi(\omega)$로 표기하며 ω 공간에서의 파동함수(wavefunction)라 부른다. 파동함수의 크기의 제곱은 앞서 말했던 확률밀도와 같으므로, $\psi(\omega)$를 확률 진폭(probability amplitude)라고도 한다.

즉 입자의 정보는 $\ket{\psi}$라는 벡터에 담겨 있고, 이를 어떤 기저(물리량의 고유 기저)로 전개하느냐에 따라 위치 공간의 파동함수, 운동량 공간의 파동함수, 에너지 공간의 파동함수 등등을 얻을 수 있는 것이다.

Expectation value, Standard Deviation

상태가 $\ket{\psi}$로 주어진 특정 입자의 물리량의 측정 값은 확률적으로만 예측할 수 있다. 그러나 같은 상태를 가진 충분히 많은 입자들의 측정 값의 평균은 기댓값(expectation value)을 계산함으로써 얻을 수 있다. 물리량 Ω의 기댓값은 <Ω>로 쓰고, 그 정의는 통계학에서의 정의와 같으며 다음과 같이 계산된다.

$\displaystyle \braket{\Omega}=\sum_i{|\braket{\omega_i|\psi}|^2\omega_i}$

$\displaystyle =\sum_i{\braket{\psi|\omega_i}\braket{\omega_i|\psi}}\omega_i$

$\displaystyle =\sum_i{\braket{\psi|\Omega|\omega_i}\braket{\omega_i|\psi}}$

$\displaystyle =\braket{\psi|\Omega|\psi}$

마찬가지로 물리량의 표준편차(standard deviation)도 구할 수 있는데, 이는 ΔΩ로 쓰며 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \Delta\Omega = \braket{(\Omega-\braket{\Omega})^2}^{1/2}$

그리고 다음과 같이 계산된다.

$\displaystyle (\Delta\Omega)^2 = \sum_i{P(\omega_i)(\omega_i-\braket{\Omega})^2}$

$\Delta\Omega=\braket{\psi|(\Omega-\braket{\Omega})^2|\psi}^{1/2}$

고유값이 연속적일 경우엔 적분으로 계산한다.

$\displaystyle (\Delta\Omega)^2 = \int{P(\omega)(\omega-\braket{\Omega})^2}d\omega$

위 식에서 볼 수 있듯이, 물리량의 기댓값과 표준편차는 고유값, 고유벡터를 직접 구하지 않아도 연산자와 상태 벡터만으로 구할 수 있다. 이러한 통계적인 양들은 불확정성의 원리와 관련이 있다.

The Schrödinger Equation

슈뢰딩거 방정식은 시간에 따른 상태 벡터의 변화를 기술한다.

$\displaystyle i\hbar {d\over dt}\ket{\psi(t)}=H\ket{\psi(t)}$

여기서 H는 해밀토니안 연산자로, 고전적인 해밀토니안에서 x와 p를 각각 연산자 X와 P로 바꾸어 얻을 수 있다.

예를 들어,

$\displaystyle H={P^2 \over 2m}+{1 \over 2}m\omega^2X^2$

는 조화진동자(harmonic oscillator)의 해밀토니안에 대응하는 해밀토니안 연산자이다.

해밀토니안이 시간에 의존하지 않을 때 위 슈뢰딩거 방정식은

$\displaystyle \ket{\psi(t)}=e^{-iHt/\hbar}\ket{\psi(0)}$

를 해로 가진다. 우변에서 초기 파동 함수에 곱해지는 $U(t)=e^{-iHt/\hbar}$ 를 'Propagator'라 하며, 지수에 연산자(행렬)가 들어가는 게 이상하게 느껴질 수 있지만, 이는 테일러 급수를 통해 (수렴하는 한) 잘 정의되는 표현이다. 이러한 표현에 대해선 Shankar 1장에서도 설명하고 있고, 아래 동영상의 내용도 이해에 도움이 된다.

https://www.youtube.com/watch?v=O85OWBJ2ayo

위 식에서 H가 Hermitian이므로 U는 Unitary 연산자이다. 따라서 $\ket{\psi(t)}$ 의 노름은 항상 보존되며, 파동함수에 대한 U의 작용을 힐베르트 공간에서의 상태의 '회전'이라고 이해할 수 있다.

해밀토니안이 시간과 무관한 경우에는 위 식을 통해 일반적인 해를 구할 수 있다. 다음 포스팅에서는 이를 이용해 간단한 퍼텐셜 하에서의 파동함수를 구해 보도록 하겠다.

한편 해밀토니안이 시간에 의존하는 경우, 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해법은 존재하지 않는다.

References

1. Ramamurti Shankar. 『Principles of Quantum Mechanics』. 2nd ed. Springer(1994). pp.115-150